KALKULUS 1

Misalkan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) adalah titik belok f jika f cekung ke atas pada satu sisi c dan cekung ke bawah pada sisi lainnya.   T itik (a, f(a)) disebut  titik belok  fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis : Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas) Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah) atau Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah) Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :   Bentuk - bentuk limit tak tentu : 1. Bentuk 0/0. Misal, lim x→c f (x) g(x) , dengan lim x→c f(x) = 0 = lim x→c g(x). 2. Bentuk ∞/∞. Misal, lim x→∞ f (x) g(x) , dengan lim x→∞ f(x) = ±∞ = lim x→∞ g(x). Solusi untuk [1] dan [2] adalah mengubah bentuk pecahannya sehingga rumus limit dapat digunakan. 3. Bentuk 0 · ∞. Misal, lim x→c f(x)g(x), dengan lim x→c f(x) = 0 dan lim x→c g(x) = ±∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi lim x→c f(x) 1/g(x) (bentuk 0/0) atau lim x→c g(x) 1/f(x) (bentuk ∞/∞) 4. Bentuk ∞ − ∞. Misal, lim x→c (f(x) − g(x)), dengan lim x→∞ f(x) = ∞ dan lim x→∞ g(x) = ∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi ∞/∞.

Misalkan f dan g terdiferensialkan dan g’(x) 6 ¹ 0 pada interval buka I yang mengandung a . Jika :  lim x→a f(x) = 0 atau lim x→a g(x) = 0   atau  lim x→a f(x) = ±∞ atau lim x→a g(x) = ± ∞ , maka lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0(x) .  Dalam hal ini, diasumsikan bahwa lim x→a f 0 (x) g 0(x) ada. Aturan L’Hospital mudah dibuktikan ketika: f(a) = g(a) = 0, f’ 0 dan g’ 0 kontinu, dan g’ 0 (a) 6= 0.