KALKULUS 1

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :   Bentuk - bentuk limit tak tentu : 1. Bentuk 0/0. Misal, lim x→c f (x) g(x) , dengan lim x→c f(x) = 0 = lim x→c g(x). 2. Bentuk ∞/∞. Misal, lim x→∞ f (x) g(x) , dengan lim x→∞ f(x) = ±∞ = lim x→∞ g(x). Solusi untuk [1] dan [2] adalah mengubah bentuk pecahannya sehingga rumus limit dapat digunakan. 3. Bentuk 0 · ∞. Misal, lim x→c f(x)g(x), dengan lim x→c f(x) = 0 dan lim x→c g(x) = ±∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi lim x→c f(x) 1/g(x) (bentuk 0/0) atau lim x→c g(x) 1/f(x) (bentuk ∞/∞) 4. Bentuk ∞ − ∞. Misal, lim x→c (f(x) − g(x)), dengan lim x→∞ f(x) = ∞ dan lim x→∞ g(x) = ∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi ∞/∞.

Misalkan f dan g terdiferensialkan dan g’(x) 6 ¹ 0 pada interval buka I yang mengandung a . Jika :  lim x→a f(x) = 0 atau lim x→a g(x) = 0   atau  lim x→a f(x) = ±∞ atau lim x→a g(x) = ± ∞ , maka lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0(x) .  Dalam hal ini, diasumsikan bahwa lim x→a f 0 (x) g 0(x) ada. Aturan L’Hospital mudah dibuktikan ketika: f(a) = g(a) = 0, f’ 0 dan g’ 0 kontinu, dan g’ 0 (a) 6= 0.   

Definisi Nilai Ekstrim Misalkan  f  terdefinisi pada selang  I  yang memuat  c . 1. f ( c ) merupakan nilai minimum  f  pada  I  jika  f ( c ) ≤  f ( x ) untuk semua  x  dalam  I . 2. f ( c ) merupakan nilai maksimum  f  pada  I  jika  f ( c ) ≥  f ( x ) untuk semua  x  dalam  I . 3.  f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika merupakan nilai maksimum atau nilai minimum.  4. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi objektif. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai  nilai ekstrim  suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai  nilai minimum mutlak  dan  nilai maksimum mutlak  pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung se...

Bentuk aturan rantai adalah sebagai berikut : Jika f dan g merupakan fungsi yang dapat dideferensialkan ( turunkan ). F = f o g adalah fungsi dengan definisi F(x)=f ( g(x) ). Maka F dapat dideferensialkan menjadi sebagai  F’(x) = f’(g(x))g’(x) A pabila digunakan notasi Leibniz, dengan y = f(u) dan u = g(x). Aturan rantai dapat ditulis menjadi :    Contoh soal : Pada soal ini kita memiliki sebuah fungsi F(x) = (x^3+4x)^7 , carilah bentuk dari   f’(x) Penyelesaian :   Semoga dapat membantu :)

Fungsi implisit yaitu fungsi yang memuat dua variabel atau lebih, variabel-variabel terserbut terdiri dari variabel bebas dan variabel tak bebas. Biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y diletakkan dalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda. Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f(x, y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa. Contoh soal : Pada soal ini kita mencari bentuk turunan dy/dx dari persamaan x^2+y^2=2x Penyelesaian :   Semoga dapat membantu :)

Diberikan sebuah fungsi  f  :  I  →  R , dengan  I  ⊆  R  suatu interval yang memuat titik  c , turunan dari  f  di titik  c  didefinisikan sebagai asalkan limit ini ada. Perhatikan jika  f  mempunyai turunan di  c , maka dan karena itu yang berarti bahwa  f  kontinu di  c . Jadi, kekontinuan  f  di  c  merupakan  syarat perlu  bagi eksistensi turunan  f  di  c . Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan  f  di  c  bukanlah merupakan  syarat cukup  bagi eksistensi turunan  f  di  c . Salah satu contoh penyangkalnya adalah  f ( x ) = | x |. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1). Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal y...