Titik Ekstrim pada Fungsi

Definisi Nilai Ekstrim
Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.
1. f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I.
2. f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.
3. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika merupakan nilai maksimum atau nilai minimum. 

4. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi objektif.

Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai nilai ekstrim suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung selang disebut nilai ekstrim ujung.

 

Suatu fungsi tidak harus memiliki nilai minimum atau maksimum pada selang tertentu. Sebagai contoh, pada gambar (1) dan (2) di atas, kita dapat melihat bahwa fungsi f(x) = x² + 1 memiliki minimum dan maksimum pada selang tutup [–1, 2], tetapi tidak memiliki maksimum pada selang buka (–1, 2). Selain itu, pada gambar (3), kita dapat melihat bahwa kekontinuan dapat mempengaruhi keberadaan nilai ekstrim pada suatu selang.
Hal ini menghasilkan teorema berikut :

Teorema 1 Teorema Nilai Ekstrim

Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut.

Teorema Nilai Ekstrim di atas dapat disebut sebagai teorema keberadaan karena teorema tersebut hanya menyebutkan keberadaan nilai minimum dan maksimum, tetapi tidak menunjukkan bagaimana menentukan nilai-nilai tersebut.