SISTEM BILANGAN REAL

Berikut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real. a. Himpunan bilangan asli : {1,2,3,….}, dinotasikan dengan N = {1,2,3,…}, Bilangan asli bisa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif. b. Himpunan bilangan  bulat : {….,-2,-1,0,1,2,…}, dinotasikan dengan Z = {-2,-1,0,1,2,…} c. Himpunan bilangan rasional : misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan Q. Secara umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai
d. Himpunan bilangan irasional : misalnya  merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n tidak sama dengan 0.

Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan R merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur Panjang, beserta negative dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untukk titik-titik yang berada disepanjang sebuah garis bilangan. Disitu, bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan dan ke kiri dari suatu titik asal (biasanya diberi label 0). Walaupun mustahil untuk manampilkan seluruh label tersebut, tetapi setiap titik pada dasarnya mempunyai sebuah label bilangan real yang unik. Bilangan yang dimaksud dinamakan koordinat dari titik tersebut dan garis koordinat yang dihasilkan disebut garis real.

       
                           

OPERASI PADA BILANGAN REAL

Misalnya a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut :
a. Tertutup terhadap penjumlahan pada perkalian
 Hasil operasi a+b dan ab adalah bilangan bulat real.
b. Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian
 a + b =b + a dan ac =ca
c. Assosiatif terhadap penjumlahan dan perkalian
 a + (b + c) = (a + b ) + c dan a (bc) = (ab)c
d. Distributif
 a (b + c) = ab + ac
e. Memiliki elemen, identitas ( 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan dan 1 adalah elemen identitas terhadap perkalian).
 a + 0 = 0 + a = a, dan 1a = a1 = a
f. Memiliki invers

Terhadap penjumlahan : untuk setiap a ∊ R terdapat x ∊ R sedemikian sehingga x + a = a + x = 0. Dalam hal ini x = -a . Jadi invers dari bilangan real a terhadap operasi penjumlahan adalah -a.

Terhadap perkalian : untuk setiap a ∊ R terdapat  x ∊ R sedemikian sehingga x a = a x = 1. Dalam hal ini 

x = 1/a .  Jadi invers dari bilangan real a terhadap operasi perkalian adalah 1/a .
Dari sifat bilangan real tersebut maka didefinisikan operasi pengurangan dan pembagian sebagai a – b = a + (-b) dan a/b = ab pangkat -1

PERTIDAKSAMAAN
 Jika a – b adalah bukan bilangan negative, maka a lebih besar atau sama dengan b, ditulis a  b, atau b lebih kecil dari atau sama dengan a, ditulis b  a. Jika bilangan tersebut selain a = b, maka a > b atau b < a. Secara geometri, a > b jika koordinat a berada disebelah kanan dari koordinat b.

Misalkan a, b, dan c adalah bilangan real. Maka berlaku sifat berikut :
a. Trikotomi
 Tepat satu diantara yang berikut ini berlaku : a > b, a = b, atau a < b.
b. Trasitif
 Jika a > b dan b > c maka a > c
c. Penambahan
 Jika a > b maka a + c > b + c
d. Perkalian
 Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc
 Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan tersebut menjadi suatu pernyataan yang benar. Berbeda dengan persamaan yang himpunan penyelesaiannya umumnya terdiri dari suatu bilangan atau mungkin sejumlah berhingga bilangan saja, himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan biasanya terdiri dari suatu keseluruhan interval bilangan atau dalam beberapa kasus gabungan dari interval – interval yang demikian.