KALKULUS 1

Misalkan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) adalah titik belok f jika f cekung ke atas pada satu sisi c dan cekung ke bawah pada sisi lainnya.   T itik (a, f(a)) disebut  titik belok  fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis : Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas) Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah) atau Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah) Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :   Bentuk - bentuk limit tak tentu : 1. Bentuk 0/0. Misal, lim x→c f (x) g(x) , dengan lim x→c f(x) = 0 = lim x→c g(x). 2. Bentuk ∞/∞. Misal, lim x→∞ f (x) g(x) , dengan lim x→∞ f(x) = ±∞ = lim x→∞ g(x). Solusi untuk [1] dan [2] adalah mengubah bentuk pecahannya sehingga rumus limit dapat digunakan. 3. Bentuk 0 · ∞. Misal, lim x→c f(x)g(x), dengan lim x→c f(x) = 0 dan lim x→c g(x) = ±∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi lim x→c f(x) 1/g(x) (bentuk 0/0) atau lim x→c g(x) 1/f(x) (bentuk ∞/∞) 4. Bentuk ∞ − ∞. Misal, lim x→c (f(x) − g(x)), dengan lim x→∞ f(x) = ∞ dan lim x→∞ g(x) = ∞. Solusi: Ubahlah bentuknya menjadi ∞/∞.

Misalkan f dan g terdiferensialkan dan g’(x) 6 ¹ 0 pada interval buka I yang mengandung a . Jika :  lim x→a f(x) = 0 atau lim x→a g(x) = 0   atau  lim x→a f(x) = ±∞ atau lim x→a g(x) = ± ∞ , maka lim x→a f(x) g(x) = lim x→a f 0 (x) g 0(x) .  Dalam hal ini, diasumsikan bahwa lim x→a f 0 (x) g 0(x) ada. Aturan L’Hospital mudah dibuktikan ketika: f(a) = g(a) = 0, f’ 0 dan g’ 0 kontinu, dan g’ 0 (a) 6= 0.   

Definisi Nilai Ekstrim Misalkan  f  terdefinisi pada selang  I  yang memuat  c . 1. f ( c ) merupakan nilai minimum  f  pada  I  jika  f ( c ) ≤  f ( x ) untuk semua  x  dalam  I . 2. f ( c ) merupakan nilai maksimum  f  pada  I  jika  f ( c ) ≥  f ( x ) untuk semua  x  dalam  I . 3.  f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika merupakan nilai maksimum atau nilai minimum.  4. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan adalah fungsi objektif. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai  nilai ekstrim  suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai  nilai minimum mutlak  dan  nilai maksimum mutlak  pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung se...

Bentuk aturan rantai adalah sebagai berikut : Jika f dan g merupakan fungsi yang dapat dideferensialkan ( turunkan ). F = f o g adalah fungsi dengan definisi F(x)=f ( g(x) ). Maka F dapat dideferensialkan menjadi sebagai  F’(x) = f’(g(x))g’(x) A pabila digunakan notasi Leibniz, dengan y = f(u) dan u = g(x). Aturan rantai dapat ditulis menjadi :    Contoh soal : Pada soal ini kita memiliki sebuah fungsi F(x) = (x^3+4x)^7 , carilah bentuk dari   f’(x) Penyelesaian :   Semoga dapat membantu :)

Fungsi implisit yaitu fungsi yang memuat dua variabel atau lebih, variabel-variabel terserbut terdiri dari variabel bebas dan variabel tak bebas. Biasanya variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y dimana variabel x dan y diletakkan dalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda. Secara umum bentuk turunan fungsi implisit adalah f(x, y) = 0, mencari turunan fungsi implisit sama dengan mencari solusi bentuk umumnya dan prinsipnya tidak jauh berbeda dengan mencari turunan fungsi biasa. Contoh soal : Pada soal ini kita mencari bentuk turunan dy/dx dari persamaan x^2+y^2=2x Penyelesaian :   Semoga dapat membantu :)

Diberikan sebuah fungsi  f  :  I  →  R , dengan  I  ⊆  R  suatu interval yang memuat titik  c , turunan dari  f  di titik  c  didefinisikan sebagai asalkan limit ini ada. Perhatikan jika  f  mempunyai turunan di  c , maka dan karena itu yang berarti bahwa  f  kontinu di  c . Jadi, kekontinuan  f  di  c  merupakan  syarat perlu  bagi eksistensi turunan  f  di  c . Tetapi, ada banyak contoh yang memperlihatkan bahwa kekontinuan  f  di  c  bukanlah merupakan  syarat cukup  bagi eksistensi turunan  f  di  c . Salah satu contoh penyangkalnya adalah  f ( x ) = | x |. Fungsi ini kontinu di 0, tetapi tidak mempunyai turunan di 0 karena tidak ada (limit kirinya sama dengan -1, sedangkan limit kanannya sama dengan 1). Terkait dengan eksistensi limit, kita mengetahui ada beberapa hal y...

Bilangan  e , yang dikenal sebagai  bilangan Euler , merupakan salah satu bilangan yang menarik dan juga penting dalam matematika. Bilangan  e  didefinisikan sebagai bilangan real yang memberikan  luas daerah di bawah kurva   y  = 1/ x  untuk 1 ≤  x  ≤  e  tepat sama dengan 1. Dalam notasi integral : Sebagai bilangan desimal, kita mempunyai  e  = 2,718281828459045… . Dalam hal ini, bilangan  e  termasuk  bilangan irasional . Yang ingin dibahas sekarang adalah bagaimana kita dapat menghampiri bilangan  e  dengan suatu  bilangan rasional  atau bilangan pecahan. Ada beberapa cara untuk menghampirinya. Yang pertama adalah dengan menggunakan fakta bahwa :     (Bentuk limit ini muncul dalam perhitungan bunga majemuk dengan bunga ‘kontinu’.) Di sini, kita tinggal memilih bilangan asli  n  yang cukup besar dan menghitung (1 +  n -1 ) n ...

Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menuntaskan persoalan limit trigonometri yaitu sebagai berikut : Teorema A   Teorema tersebut hanya berlaku pada saat (x -> 0) . Teorema B Terdapat beberapa teorema yang berlaku. Untuk setiap bilangan real ( asli ) “c” di dalam daerah asal fungsi yaitu :   Biasanya dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri nilai terdekat dari limit fungsi nya yaitu berupa sudut – sudut istimewa yaitu sudut yang mempunyai nilai sederhana. Karna itu kita perlu mengetahui nilai – nilai sudut istimewa yang terdapat pada tabel di bawah ini :   Contoh soal   Jawab : Melihat bentuk limit pada soal di atas kita bisa langsung mensubtitusikan nilai x.  

Limit trigonometri adalah  nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain. Dalam menentukan nilai limit suatu fungsi trigonometri terdapat berbagai cara yang bisa dipakai: 1 .Metode Numerik 2. Subtitusi 3. Pemfaktoran 4. Kali Sekawan 5. Menggunakan Turunan Macam-Macam Trigonometri 1. Identitas Trigonometri dalam Trigonometri   2. Rumus Jumlah dan Selis...

Fungsi kuadrat  adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan  persamaan kuadrat . Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:    Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:     Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta   Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:   Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat  dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola. Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval ter...

Pertidaksamaan ialah kalimat terbuka yang mneggunakan tanda ketidaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan mengandung variabel. Secara umum pertidaksamaan merupakan cara untuk menyatakan suatu selang atau interval. Tanda “<” dan “>” menyatakan selang terbuka dan pada garis bilangan digambarkan dengan noktah kosong( ). Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandungnilai mutlak. Nilai mutlak menghitung jarak suatu angka dari 0—misal, x. mengukur jarak x dari nol. Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real x ialah jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan digambarkan dengan │x│. Secara formal nilai mutlak didefinisikan sebagai berikut :   Sifat-sifat pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebagai berikut :   Contoh soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak   1. Tentukan interval pada penyelesaian pertidaksamaan berikut ini              ...

Nilai Mutlak adalah nilai suatu bilangan rill tana adanya tambah (+) atau kurang (-). Misalnya, nilai mutlak dari 2 sama dengan nilai mutlak dari -2 yaitu 2 atau secara umum dapat ditulis dengan |2|=|-2|=2. Dari sudut pandang geometri mengenai konsep jarak, nilai mutlak berarti jarak yang ditempuh tanpa memperhatikan arah.  Perhatikan garis bilangan dibawah ini :   Cobalah bayangkan seseorang berdiri di titik 0, maka jika dia berjalan ke kanan sejauh 4 satuan, maka dia berada di titik -4. Sebaliknya jika berjalan ke kiri sejauh 4 satuan maka dia akan berada di titik -4. Dalam hal ini dikatakan orang tersebut berjalan sejauh 4 satuan tanpa memperhatikan tanda plus atau minus. Kemudian bentuk nilai mutlak secara umum adalah seperti dibawah ini :     Selain bentuk umum nilai mutlak juga memiliki sifat-sifat seperti berikut ini :   Persamaan Nilai Mutlak      Persamaan nilai mutlak ditandai dengan menggunakan tanda sama dengan (=). ...

Sifat-Sifat Pertidaksamaan 1 . Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama jika a < b maka : a + c < b + c a – c < b – c 2. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan perhitungan positif yang sama jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka : a.c > b.c a/b < b/c 3. Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negative yang sama jika a < b, dan c adalah bilangan negative, maka : a.c > b.c a/c > b/c 4. Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan jika a < b, a dan b sama-sama positif, maka a2 < b2 Pertidaksamaan Pecahan - ada pembilang dan penyebut Penyelesaian :  1. Ruas kanan dijadikan nol  2. Samakan penyebut diruas kiri  3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)  4. Cari nilai-nilai variabel yang menye...

Berikut ini diberikan himpunan-himpunan penting dari sistem bilangan real. a. Himpunan bilangan asli : {1,2,3,….}, dinotasikan dengan N = {1,2,3,…}, Bilangan asli bisa digunakan untuk menghitung. Himpunan bilangan asli biasa juga disebut dengan himpunan bilangan bulat positif. b. Himpunan bilangan  bulat : {….,-2,-1,0,1,2,…}, dinotasikan dengan Z = {-2,-1,0,1,2,…} c. Himpunan bilangan rasional : misalnya {16/2, 2/3, dsb}, dinotasikan dengan Q. Secara umum, bentuk bilangan rasional dituliskan sebagai d. Himpunan bilangan irasional : misalnya   merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n tidak sama dengan 0. Himpunan bilangan real sendiri dinotasikan dengan R merupakan kumpulan dari semua bilangan rasional dan irasional yang dapat digunakan untuk mengukur Panjang, beserta negative dari bilangan-bilangan tersebut dan nol. Bilangan real dapat dipandang sebagai penanda untukk titi...